利用函數凸性證明不等式
關鍵詞：函數凸性 凸函數 不等式證明
摘要：目的不等式在高等數學中的應用非常廣泛,地位舉足輕重,正確使用不等式可使復雜的數學問題簡單化,由于它的應用方法靈活、抽象、邏輯性較強,所以不易掌握。而在不等式的證明中,有些看似復雜的問題,利用函數的凸性可以很輕松地解決。方法從解析定義、幾何解釋和直觀描述性定義3個方面介紹凸函數定義,再揭示凸函數的判定定理和性質,其中重點把握凸函數的Jensen不等式,在前述內容的基礎上建立凸函數框架統一證明初等不等式,并推證一些著名不等式。結果通過舉例的方式,巧妙地構造凸函數,利用函數凸性加以證明,確實使大部分不等式的證明更加簡潔明了。結論在高等數學教學中,利用函數的單調性給出了特殊函數不等式的證明方法,使復雜問題簡單化,學生在學習過程中容易接受,并增加學生學習高等數學的積極性。但不等式的證明方法繁多,難度、技巧性都很大,比如導數定義法、拉格朗日中值定理法、冪級數展開法等,把應用這些方法證明不等式和利用函數凸性證明不等式結合起來,相互補充,不斷總結歸納,可以拓寬知識面,提升解題能力。
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